微分可能とは何か

この記事は LLM と連携して作成しました

解析学を学び直すとき、「微分可能」という言葉は最初に出てくるにもかかわらず、意外と定義があいまいなまま通り過ぎてしまいやすい。この記事では、微分可能とは何か、微分可能であるための条件、そして「解析的」との違いまでを体系的に整理する。

結論

微分可能とは、ある点における接線の傾き（微分係数）がただ一つに定まること
直感的には、グラフを拡大していったときに一本の直線に近づき、カドが消えること
連続でカドがないことは微分可能であるための必要条件だが、十分条件ではない
微分可能性には $$C^k$$ 級という滑らかさの階層があり、 $$k$$ 回微分できてその導関数が連続であることを意味する
「無限回微分可能（ $C^\infty$ 級）」と「解析的（ $C^\omega$ 級）」は別物であり、 $C^\infty$ 級だからといって解析的とは限らない
両者の違いは、テイラー展開の剰余項が $$0$$ へ収束し、級数がもとの関数と一致するかどうかで決まる
複素関数の世界では、1回微分可能であれば自動的に解析的となるという、実関数では見られない性質がある

前提

対象読者: 微分積分の基本用語は知っているが、「微分可能」の定義や周辺概念を体系的に整理したい人

微分可能の定義

関数 $$f(x)$$ が点 $$a$$ で微分可能であるとは、以下の極限（微分係数）が存在することをいう。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

この極限が存在するためには、右側極限と左側極限が一致していなければならない。

\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

直感: 拡大すると直線に見えるかどうか

微分可能な関数は、グラフをどれだけ拡大していっても最終的には一本の直線に見える。逆に、微分できない点では拡大してもカド（尖り）が残り、傾きが1つに決まらない。

微分できない典型例が $$f(x) = |x|$$ だ。 $$x = 0$$ では次のようになる。

右から近づくと傾きは $$1$$
左から近づくと傾きは $$-1$$

右側極限と左側極限が一致しないため、 $$x = 0$$ で微分可能ではない。

微分可能であるためには、少なくとも以下の2条件が必要になる。

連続であること（グラフがつながっている）
滑らかであること（カドがない）

ただし、この2条件は必要条件であって十分条件ではない。連続でカドがないように見えても、微分できない関数は存在する（ワイエルシュトラス関数が有名な反例だ）。

$$C^k$$ 級という滑らかさの階層

微分可能性には「何回微分できて、その導関数がどこまで連続か」によって段階がある。これを $$C^k$$ 級と呼ぶ。

関数 $$f(x)$$ が $$C^k$$ 級であるとは、以下の2条件を満たすことをいう。

$$k$$ 回微分可能である
$$k$$ 回目の導関数 $f^{(k)}(x)$ が連続である

$$C$$ は英語の Continuous（連続）の頭文字だ。「微分できる」だけでなく「微分した結果が連続である」ことまで求める点がポイントになる。

記法	意味
$$C^0$$ 級	連続である（カドがあってもよい）
$$C^1$$ 級	1回微分できて、その導関数も連続
$$C^2$$ 級	2回微分できて、曲率も連続。物理の加速度などで重要
$$C^k$$ 級	$$k$$ 回微分できて、第 $$k$$ 次導関数が連続
$C^\infty$ 級	何回でも微分できる

具体例: べき乗関数で見る滑らかさの階層

$$f(x) = |x|^3$$

を例に、微分を繰り返すとどこまで滑らかさが保たれるかを見てみる。

元の関数はつながっている（ $$C^0$$ 級）
1回微分すると $$f'(x) = 3x|x|$$ となり、カドが消えて滑らかになる（ $$C^1$$ 級）
2回微分すると $$f''(x) = 6|x|$$ となり、まだつながっている（ $$C^2$$ 級）
3回微分すると $$x = 0$$ でカド（V字）が現れ、それ以上は微分できない

つまりこの関数は「 $$C^2$$ 級だが $$C^3$$ 級ではない」ということになる。

微分可能と解析的の違い

「微分可能」と「解析的」はどちらも関数の滑らかさを表す言葉だが、要求する滑らかさのレベルがまったく違う。

微分可能: その点において接線の傾きが1つに決まる（最低1回微分できればよい）
解析的（ $C^\omega$ 級）: その点の周りで何回でも微分できるだけでなく、テイラー展開がもとの関数と一致する

テイラーの定理により、 $$n$$ 次までのテイラー展開の剰余項は次のように書ける。

R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

$C^\infty$ 級であることは、この $$R_n(x)$$ が任意の $$n$$ で定義できることしか保証しない。一方、解析的であるとは、 $n \to \infty$ のとき $R_n(x) \to 0$ となり、級数がもとの関数 $$f(x)$$ に一致することまでを要求する。

観点	微分可能	解析的
微分の回数	最低1回	無限回
級数展開	できるとは限らない	その点の周りでべき級数展開できる
束縛力	その点の性質が周辺に影響しない	その点の情報だけで周辺の値まで決まる

$$e^x$$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ や多項式はすべて解析的だ。

$C^\infty$ 級なのに解析的ではない例

ここが一番の落とし穴で、「無限回微分できる」ことと「解析的である」ことはイコールではない。

次の関数を考える。

f(x) = e^{-1/x} \quad (x > 0)

f(x) = 0 \quad (x \le 0)

この関数は $$x = 0$$ で何回微分しても微分係数が $$0$$ になる。つまり無限回微分可能（ $C^\infty$ 級）だ。しかし、 $$x = 0$$ でのテイラー展開はすべての項が $$0$$ になり、「ずっと $$0$$ 」という式にしかならない。一方で実際の関数は $$x > 0$$ で正の値を持つため、テイラー展開と元の関数が一致しない。したがってこの関数は $$x = 0$$ で解析的ではない。

剰余項で見ると、テイラー展開の各項がすべて $$0$$ になるため $$R_n(x) = f(x)$$ となり、 $$x > 0$$ では $f(x) = e^{-1/x} > 0$ なので $n \to \infty$ としても $$R_n(x)$$ は $$0$$ に収束しない。

複素関数における特別な性質

実関数の世界では、微分可能・ $C^\infty$ 級・解析的の間にはこれだけの差がある。ところが複素関数の世界（複素解析）では事情が大きく異なる。

複素関数が複素平面上のある領域で1回微分可能（正則）であれば、その領域で自動的に何回でも微分可能になり、さらに解析的になることが知られている。実関数では「微分可能 $\to$ $C^\infty$ 級 $\to$ 解析的」という各矢印はどれも成り立たないが、複素関数では1回の微分可能性がそのまま解析性まで一気に保証してしまう。

注意点

$$C^k$$ 級の議論は1変数の実関数を前提にしている。多変数関数では偏微分可能性と全微分可能性を区別して考える必要がある
「連続かつカドがない」ように見える関数でも微分できない例（ワイエルシュトラス関数など）があるため、見た目だけで微分可能性を判断しないほうがよい
$C^\infty$ 級と解析的（ $C^\omega$ 級）を混同すると、テイラー展開の収束範囲を見誤ることがある

まとめ

微分可能とは、ある点で接線の傾き（微分係数）がただ一つに定まること
連続でカドがないことは微分可能であるための必要条件だが、十分条件ではない
$$C^k$$ 級は「 $$k$$ 回微分できて、その導関数が連続である」という滑らかさの階層を表す
$C^\infty$ 級（無限回微分可能）と解析的（ $C^\omega$ 級）は別物であり、 $C^\infty$ 級だからといって解析的とは限らない
複素関数の世界では、1回微分可能であれば自動的に解析的となる

参考

高木貞治『解析概論』岩波書店
Walter Rudin, “Principles of Mathematical Analysis”, McGraw-Hill
Lars V. Ahlfors, “Complex Analysis”, McGraw-Hill